如图，过抛物线y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．

Question

如图，过抛物线y²=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．

Answer 1

证明：∵点A坐标为（4，2），设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由已知设BA：m（y-2）=x-4，即：x=my-2m+4，
代入抛物线的方程得：y²=my-2m+4，即y²-my+2m-4=0，
则：y₁+2=m，故：y₁=m-2，
设CA：-m（y-2）=x-4，即：x=-my+2m+4，
代入抛物线的方程得：y²=-my+2m+4，即y²+my-2m-4=0，
则：y₂+2=-m，故y₂=-m-2，…（10分）
直线CB的斜率k_CB=(y1-y2)/(x1-x2)=(2m)/(-8m)=-(1)/(4)，
所以：直线BC的斜率为定值．