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已知f(x)=-x+log2(1-x/1+x).(1)求f(1/2011)+f(-1/2011)的值;(2)当x∈(-a,a](其中a∈(-1,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由.
题目详情
已知f(x)=-x+log2(1-x/1+x).
(1)求f(1/2011)+f(-1/2011)的值;
(2)当x∈(-a,a](其中a∈(-1,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由.
(1)求f(1/2011)+f(-1/2011)的值;
(2)当x∈(-a,a](其中a∈(-1,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
解,由条件可知函数定义域为(-1,1),f(-x)=x+log2(1+x/1-x).=-f(x)=x-log2(1-x/1+x).=x+log2(1+x/1-x)故函数是奇函数f(x)+f(-x)=0
(1)由上述论述可得f(1/2011)+f(-1/2011)=0
(2)存在最小值,将函数变形令g(x)=-x,易知函数在(-a,a】单调递减;令h(x)=log2(1-x/1+x).=log2(2/(1+x)-1);易知函数h(x)在(-a,a】也单调递减;故函数f(x)=g(x)+h(x)在(a,a】单调递减.可知函数f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a+log2(1-a/1+a).
(1)由上述论述可得f(1/2011)+f(-1/2011)=0
(2)存在最小值,将函数变形令g(x)=-x,易知函数在(-a,a】单调递减;令h(x)=log2(1-x/1+x).=log2(2/(1+x)-1);易知函数h(x)在(-a,a】也单调递减;故函数f(x)=g(x)+h(x)在(a,a】单调递减.可知函数f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a+log2(1-a/1+a).
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