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设A为n阶矩阵,若A*A=A,证明:I+A可逆
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设A为n阶矩阵,若A*A=A,证明:I+A 可逆
▼优质解答
答案和解析
因为A^2=A
所以A的特征值只能是0,1
所以 I+A 的特征值只能是 1,2
所以 I+A 可逆.
另证:
因为 A^2-A=0
所以 A(A+I) -2(A+I) +2I =0
所以 (A-2I)(A+I) = -2I
所以 A+I 可逆, 且 (A+I)^-1 = (-1/2) (A-2I).
所以A的特征值只能是0,1
所以 I+A 的特征值只能是 1,2
所以 I+A 可逆.
另证:
因为 A^2-A=0
所以 A(A+I) -2(A+I) +2I =0
所以 (A-2I)(A+I) = -2I
所以 A+I 可逆, 且 (A+I)^-1 = (-1/2) (A-2I).
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