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如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,正方形DEFG的四个顶点分别在边AC、AB、CB上.(1)求证:△ADE∽△GBF;(2)求正方形DEFG的边长;(3)连结CE、CF分别交DG于点P、Q.求证:PQ2=PD•QG.
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如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,正方形DEFG的四个顶点分别在边AC、AB、CB上.
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(1)求证:△ADE∽△GBF;
(2)求正方形DEFG的边长;
(3)连结CE、CF分别交DG于点P、Q.求证:PQ2=PD•QG.
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(1)求证:△ADE∽△GBF;
(2)求正方形DEFG的边长;
(3)连结CE、CF分别交DG于点P、Q.求证:PQ2=PD•QG.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵直角△ADE中,∠A+∠ADE=90°,
又∵直角△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴∠ADE=∠B,
又∵∠AED=∠GFB,
∴△ADE∽△GBF;
(2)在直角△ABC中,AB=
=
=5,
则AB边上的高是:
=2.4,
∵DG∥AB,
∴△CDG∽△CAB,
∴设正方形DEFG的边长是x,则
=
,
解得:x=
;
(3)∵△ADE∽△GBF,
∴
=
,则DE•GF=AE•BF,
又∵EF=DE=GF,
∴EF2=AE•BF,
∵DP∥AE,
∴△CDP∽△CAE,
∴
=
,
同理,
=
=
,
则
=
=
,
∴
=
,
∴PQ2=PD•QG.
又∵直角△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴∠ADE=∠B,
又∵∠AED=∠GFB,
∴△ADE∽△GBF;
(2)在直角△ABC中,AB=
AC2+BC2 |
32+42 |
则AB边上的高是:
3×4 |
5 |
∵DG∥AB,
∴△CDG∽△CAB,
∴设正方形DEFG的边长是x,则
x |
5 |
2.4-x |
2.4 |
解得:x=
60 |
37 |
(3)∵△ADE∽△GBF,
∴
DE |
AE |
BF |
GF |
又∵EF=DE=GF,
∴EF2=AE•BF,
∵DP∥AE,
∴△CDP∽△CAE,
∴
CD |
AC |
DP |
AE |
同理,
CD |
AC |
PQ |
EF |
QG |
BF |
则
DP |
AE |
QG |
BF |
PQ |
EF |
∴
DP•DQ |
AE•BF |
PQ•EF |
EF2 |
∴PQ2=PD•QG.
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