如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的四个顶点分别在边AC、AB、CB上．（1）求证：△ADE∽△GBF；（2）求正方形DEFG的边长；（3）连结CE、CF分别交DG于点P、Q．求证：PQ2=PD•QG．

Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的四个顶点分别在边AC、AB、CB上．

（1）求证：△ADE∽△GBF；
（2）求正方形DEFG的边长；
（3）连结CE、CF分别交DG于点P、Q．求证：PQ²=PD•QG．

Answer 1

证明：（1）∵直角△ADE中，∠A+∠ADE=90°，
又∵直角△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠AED=∠GFB，
∴△ADE∽△GBF；
（2）在直角△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(32+42)=5，
则AB边上的高是：(3×4)/(5)=2.4，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴设正方形DEFG的边长是x，则(x)/(5)=(2.4-x)/(2.4)，
解得：x=(60)/(37)；
（3）∵△ADE∽△GBF，
∴(DE)/(AE)=(BF)/(GF)，则DE•GF=AE•BF，
又∵EF=DE=GF，
∴EF²=AE•BF，
∵DP∥AE，
∴△CDP∽△CAE，
∴(CD)/(AC)=(DP)/(AE)，
同理，(CD)/(AC)=(PQ)/(EF)=(QG)/(BF)，
则(DP)/(AE)=(QG)/(BF)=(PQ)/(EF)，
∴(DP•DQ)/(AE•BF)=(PQ•EF)/(EF2)，
∴PQ²=PD•QG．