如图，在椭圆C：中，，分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I．(1)求证：IG∥；(2)已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点与椭圆C交于M，N两点，若

Question

如图，在椭圆C：中，，分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I．
(1)求证：IG∥；
(2)已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率，满足，求直线l的方程．____

Answer 1

【分析】(1)欲证IG∥F₁F₂，因为F₁，F2在x轴上，只需证明I，G的纵坐标相等即可，利用重心的坐标公式求出G点的纵坐标，再借助三角形内切圆的性质，利用面积相等求出I的纵坐标，比较大小即可．
(2)设出直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求出x₁+x₂，x₁x₂．代入k₁+k₂中，化简即可求出k的值，得到直线l的方程．

(1)设P点坐标为(x₀，y₀)(y₀>0)，
∵G为ΔPF₁F₂的重心，故.
∵I为ΔPF₁F₂的内心，设ΔPF₁F₂的内切圆半径为r，
∴
∴.
又a=2，c=1，y₀>0
则，
∴I点纵坐标为
∴IG∥F₁F_2.
(2)若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意．
若直线l的斜率存在，设过F₂(1，O)的直线方程为y=k(x-1)，直线和椭圆交于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)
将y=k(x-1)代入3x²+4y²=12中得到：(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理可知：
又=
而
从而
即k=2
故所求直线MN方程为：y=2(x-1)．

【点评】本题主要考察了直线与椭圆位置关系的判断，注意韦达定理的应用．