如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠BAD=90°，BD、AC交于点F，且AF=AD，作DE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBF=∠ABF；（2）若AB-BC=4，AC=8，求BC的长；（3）求证：AE=CF．

Question

如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠BAD=90°，BD、AC交于点F，且AF=AD，作DE⊥AC于点E．

（1）求证：∠CBF=∠ABF；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求BC的长；
（3）求证：AE=CF．

Answer 1

（1）证明：∵AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD，
∵∠AFD=∠BFC，
∴∠ADF=∠BFC，
在Rt△CBF和Rt△ABD中，

∠C=∠BAD=90°

∠BFC=∠BDA

∴Rt△CBF～Rt△ABD，
∴∠CBF=∠ABF．

（2） 设BC=x，
∵AB-BC=4，
∴AB=x+4，
在Rt△ABC中，
∵AC=8，
∴（x+4）²-x²=64，
整理，可得
8x+16=64，
解得x=6，
∴BC的长是6．

（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，
∵∠CBF=∠ABF，
∴FG=CF，
∵∠FAG+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠FAG=∠ADE，
∵∠AFG=90°-∠FAG，∠DAE=90°-∠ADE，
∴∠AFG=∠DAE，
在Rt△AFG和Rt△DAE中，

∠AFG=∠DAE

AF=AD

∠FAG=∠ADE

∴Rt△AFG≌Rt△DAE，
∴AE=FG，
∵FG=CF，
∴AE=CF．