已知∠AOB=150°，OD为∠AOB内部的一条射线（1）如图（1），若∠BOC=60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD=13∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．（2）如图（2），若OC、OD

Question

已知∠AOB=150°，OD为∠AOB内部的一条射线
（1）如图（1），若∠BOC=60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD= (1)/(3)∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．
（2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）的值．
（3）如图（3），C₁为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB₁，旋转时间为t秒（0<t≤35），OE平分∠AOB₁，OF为∠C₁OB₁的三等分线，∠C₁OF= (1)/(3)∠C₁OB₁，若|∠C₁OF-∠AOE|=30°，直接写出t的值为___．

Answer 1

解（1）分两种情况：
①当射线OD在∠BOC的内部时，如图1所示，
∵OE平分∠AOB，
∴∠BOE=(1)/(2)∠AOB，
又∠AOB=150°，
∴∠BOE=75°，
又∵∠COD=(1)/(3)∠BOC，且∠BOC=60°，
∴∠BOD=(2)/(3)∠BOC=(2)/(3)×60°=40°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-40°=35°；                      
②当射线OD在∠AOC的内部时，
如图2所示，同理得：∠BOE=75°，
∵∠COD=(1)/(3)∠BOC=(1)/(3)×60°=20°，
∴∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，
=20°+60°-75°，
=5°，
综上所述，∠DOE=35°或5°；                            
（2）∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，
∴∠MOD=(1)/(2)∠AOD，∠CON=(1)/(2)∠BOC，
又∠MOC=∠MOD-∠COD，∠NOD=∠CON-∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=（∠MOD-∠COD）-（∠CON-∠COD），
=(1)/(2)∠AOD-∠COD-（(1)/(2)∠BOC-∠COD），
=(1)/(2)（∠AOD-∠BOC），
而∠AOD=∠AOC+∠COD，∠BOC=∠BOD+∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=(1)/(2)（∠AOC+∠COD-∠BOD-COD），
=(1)/(2)（∠AOC-∠BOD），
∴（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）=(∠AOC-∠BOD)/((1)/(2)(∠AOC-∠BOD))=2；                        

（3）①当∠BOB₁<90°时，
∵∠BOB₁=6t，
∴∠AOB₁=150°+6t，
∵OE平分∠AOB₁，
∴∠AOE=(1)/(2)∠AOB₁=(1)/(2)（150°+6t）=75^°+3t，
∵∠C₁OB₁=360°-∠C₁OB₁=180°-6t，
∵∠C₁OF=(1)/(3)∠C₁OB₁，
∴∠C₁OF=60°-2t，
∵|∠C₁OF-∠AOE|=30°，
∴75^°+3t-60°+2t=30°或60°-2t-75°-3t=30°，
∴t=9，
②当∠BOB₁>90°时，
同理t=15，
故答案为：9秒或15秒．