数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求T

Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上
∴a_n+1=3S_n+1，①
a_n=3S_n-1+1，②（n＞1）…（2分）
①-②：a_n+1-a_n=3（S_n-S_n-1）=3a_n，
∴a_n+1=4a_n，n＞1…（4分）
∵a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1，a₁=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴当t=1时，a₂=4a₁，数列{a_n}是等比数列…（6分）
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，a_n+1=4a_n，
∴an+1＝4n，…（8分）
∴b_n=log₄a_n+1=n，…（9分）cn＝an+bn＝4n−1+n，…（10分）
∴

Tn＝c1+c2+…+cn＝(40+1)+(41+2)+…+(4n−1+n)

＝(1+4+42+…+4n−1)+(1+2+3+…+n)＝(4n−1)/(3)+((1+n)n)/(2)

…（12分）