（2012•南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知

Question

（2012•南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

Answer 1

（1）由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，∴b=(2)/(√(2))=√(2)．
因为离心率e=(c)/(a)=(√(3))/(2)，所以(b)/(a)=(1)/(2)，所以a=2√(2)．     
所以椭圆C的方程为(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1．
（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x₀，y₀），（-x₀，y₀），则直线PM的方程为y=(y0−1)/(x0)x+1，①
直线QN的方程为y=(y0−2)/(−x0)x+2．   ②…（8分）
设T（x，y），联立①②解得x₀=(x)/(2y−3)，y₀=(3y−4)/(2y−3)．            …（11分）
因为<

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，可得b的值，利用离心率为

(x02)/(8)(√(3))/(2)，即可求得椭圆C的方程；
（2）设M，N的坐标分别为（x₀，y₀），（-x₀，y₀），求出直线PM、QN的方程，求得x₀，y₀的值，代入椭圆方程，整理可得结论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议