已知曲线y=ex+a与y=（x-1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，2ln2+3）B.（-∞，2ln2-3）C.（2ln2-3，+∞）D.（2ln2+3，+∞）

Question

已知曲线y=e^x+a与y=（x-1）²恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（　　）

A. （-∞，2ln2+3）

B. （-∞，2ln2-3）

C. （2ln2-3，+∞）

D. （2ln2+3，+∞）

Answer 1

y=（x-1）²的导数y′=2（x-1），y=e^x+a的导数为y′=e^x+a，
设与曲线y=e^x+a相切的切点为（m，n），y=（x-1）²相切的切点为（s，t），
则有公共切线斜率为2（s-1）=e^m+a=(t-n)/(s-m)，
又t=（s-1）²，n=e^m+a，
即有2（s-1）=((s-1)2-2(s-1))/(s-m)，
即为s-m=(s-1)/(2)-1，
即有m=(s+3)/(2)（s>1），
则有e^m+a=2（s-1），即为a=ln2（s-1）-(s+3)/(2)（s>1），
令f（s）=ln2（s-1）-(s+3)/(2)（s>1），
则f′（s）=(1)/(s-1)-(1)/(2)，
当s>3时，f′（s）<0，f（s）递减，
当1<s<3时，f′（s）>0，f（s）递增．
即有s=3处f（s）取得极大值，也为最大值，且为2ln2-3，
由恰好存在两条公切线，即s有两解，
可得a的范围是a<2ln2-3．
故选B．