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已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说
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已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(2)求a1的值;当n=3时,数列a1,a2,a3是否成等比数列,试说明理由;
(3)由(2)及通过对A的探究,试写出关于数列a1,a2,…,an的一个真命题,并加以证明.
(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(2)求a1的值;当n=3时,数列a1,a2,a3是否成等比数列,试说明理由;
(3)由(2)及通过对A的探究,试写出关于数列a1,a2,…,an的一个真命题,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于3×4 与 均不属于数集{1,3,4},∴数集{1,3,4} 不具有性质P …2分
由于1×2,1×3,1×6,2×3,,, 都属于数集{1,2,3,6},
∴数集{1,2,3,6} 具有性质P…4分
(2)∵A={a1,a2,…,an} 具有性质P,
∴anan 与 中至少有一个属于A,由于 1≤a1<a2<…an,故anan∉A …5分
从而 …6分∴a1=1 …7分
当n=3 时,∵,a1=1,a2a3∉A,∴ 都属于A …8分
从而,,,即a3=a1a3=a22,…9分
故数列a1,a2,a3 成等比数列…10分
(3)对于一切大于或等于3的奇数n,满足性质P 的数列a1,a2,…,an 成等比数列. …12分
证明:由(2),不妨设n=2k+1(k∈N,k≥2).首先易得a2k+1ai∉A(i=1,…2k),知 都属于A,又,从而,有 ,即 a2k+1=a1a2k+1=a2a2k=a3a2k-1=…=ai+2a2k-i=…=a2ak+2=ak+12 …(﹡) 因为ai+ja2k-i>ai+2a2k-i=a2k+1(0≤i≤k-2,3≤j≤2k-2i),所以,只有,, 均属于A. 将i 从0 到k-2 列举,便得到:
第1组:,共2k-2 项;
第2组:,共2k-4 项;
第3组:,共2k-6 项;
…第k-1 组:,共2 项.上一组的第2项总大于下一组的第1项,
再注意到,故第1组的各数从左到右依次为:a2k-2,a2k-3,a2k-4,…,a2,a1;第2组的各数从左到右依次为:a2k-4,a2k-5,a2k-6,…,a2,a1;第3组的各数从左到右依次为:a2k-6,a2k-7,a2k-8,…,a2,a1; …第k-1 组的各数从左到右依次为:a2,a1.于是,有,由(﹡),,,…,,又,故数列a1,a2,…,an 成等比数列.…15分
由于1×2,1×3,1×6,2×3,,, 都属于数集{1,2,3,6},
∴数集{1,2,3,6} 具有性质P…4分
(2)∵A={a1,a2,…,an} 具有性质P,
∴anan 与 中至少有一个属于A,由于 1≤a1<a2<…an,故anan∉A …5分
从而 …6分∴a1=1 …7分
当n=3 时,∵,a1=1,a2a3∉A,∴ 都属于A …8分
从而,,,即a3=a1a3=a22,…9分
故数列a1,a2,a3 成等比数列…10分
(3)对于一切大于或等于3的奇数n,满足性质P 的数列a1,a2,…,an 成等比数列. …12分
证明:由(2),不妨设n=2k+1(k∈N,k≥2).首先易得a2k+1ai∉A(i=1,…2k),知 都属于A,又,从而,有 ,即 a2k+1=a1a2k+1=a2a2k=a3a2k-1=…=ai+2a2k-i=…=a2ak+2=ak+12 …(﹡) 因为ai+ja2k-i>ai+2a2k-i=a2k+1(0≤i≤k-2,3≤j≤2k-2i),所以,只有,, 均属于A. 将i 从0 到k-2 列举,便得到:
第1组:,共2k-2 项;
第2组:,共2k-4 项;
第3组:,共2k-6 项;
…第k-1 组:,共2 项.上一组的第2项总大于下一组的第1项,
再注意到,故第1组的各数从左到右依次为:a2k-2,a2k-3,a2k-4,…,a2,a1;第2组的各数从左到右依次为:a2k-4,a2k-5,a2k-6,…,a2,a1;第3组的各数从左到右依次为:a2k-6,a2k-7,a2k-8,…,a2,a1; …第k-1 组的各数从左到右依次为:a2,a1.于是,有,由(﹡),,,…,,又,故数列a1,a2,…,an 成等比数列.…15分
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