已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m<n），求实数m，n的值．

Question

已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．
（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m<n），求实数m，n的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a=b=2c≠0，
∴由f（x）=cx+a得ax²+bx+c=cx+a，
即2cx²+2cx+c=cx+2c，
得2cx²+cx-c=0，即2x²+x-1=0，
解得x=-1或x=(1)/(2)，即B={-1，(1)/(2)}
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m<n），
则①当0∈A，0∈B时，即a=b=c，
由ax²+bx+c=ax+b，即ax²+ax+a=ax+a，即ax²=0，解得x=0，
即A={0}，
由ax²+bx+c=cx+a，ax²+ax+a=ax+a，即ax²=0，解得x=0，
即B={0}，则A∪B={0}，则不符合题意．
②当0∈A，0∉B时，即a≠c，b=c，
则A={0，(a-c)/(a)}，B={±√((a-c)/(a))}，
则此时必有c=0，则m=-1，n=1．
③当0∉A，0∈B时，即a=c，b≠c，即B={0，(c-b)/(c)}，
由cx²+bx+c=cx+b得cx²+（b-c）x+c-b=0，
∵b≠c，∴方程的另外一个根(c-b)/(c)≠0，则(c-b)/(c)∉A，
则判别式△=（b-c）²-4c（c-b）=0，
解得b=-3c，解得m=2，n=4，
综上m=-1，n=1．或m=2，n=4．