椭圆X2/9+Y2/4=1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点,当角F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围是

Question

椭圆X2/9+Y2/4=1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点,当角F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围是

Answer 1

由椭圆方程x^2/9＋y^2/4＝1,得：c＝√（9－4）＝√5,
∴F1、F2的坐标分别是（－√5,0）、（√5,0）.
令点P的坐标是（3cosA,2sinA）,则：
向量PF1＝（－√5－3cosA,－2sinA）、向量PF2＝（√5－3cosA,－2sinA）,
∴向量PF1·向量PF2＝－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2.
∵∠F1PF2是钝角,∴向量PF1·向量PF2＜0,
∴－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2＜0,
∴－［5－9（cosA）^2］＋4（sinA）^2＜0,
∴－5＋4［（cosA）^2＋（sinA）^2］＋5（cosA）^2＜0,
∴－1＋5（cosA）^2＜0,∴（cosA）^2＜1/5,∴－√5/5＜cosA＜√5/5,
∴－3√5/5＜3cosA＜3√5/5.
∴点P的横坐标取值范围是（－3√5/5,3√5/5）.