已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P为椭圆上半部分任意一点，A（1，1）为椭圆内一点，求|PA|+|PF1|的最小值为6−26−2．

Question

已知F₁是椭圆5x²+9y²=45的左焦点，P为椭圆上半部分任意一点，A（1，1）为椭圆内一点，求|PA|+|PF₁|的最小值为

6−√(2)

6−√(2)

．

Answer 1

由椭圆5x²+9y²=45的方程化为(x2)/(9)+(y2)/(5)＝1，可得F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴|AF₂|=√((1−2)2+(1−0)2)=√(2)．
如图所示．
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PA|+|PF₁|=|PA|+6-|PF₂|=6-（|PF₂|-|PA|）≥6-|AF₂|=6−√(2)．当且仅当三点P，A，F₂共线时取等号．
∴|PA|+|PF₁|的最小值为6−√(2)．
故答案为：6−√(2)．