已知抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E（x0，0）．（1）求k的取值范围；（2）求证：x0＞3；

Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E（x₀，0）．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x₀＞3；
（3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）由题意，M（-1，0），
设斜率为k的直线方程为y=k（x+1）
代入抛物线方程，整理可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，
∴（2k²-4）²-4k⁴＞0且k≠0
∴-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）；     
（2）证明：由（1）知，k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P
∴P的横坐标为(2−k2)/(k2)，
代入y=k（x+1），可得P的纵坐标为(2)/(k)                 
∴AB的垂直平分线方程为y-(2)/(k)=-(1)/(k)（x-(2−k2)/(k2)）
令y=0可得x₀=(2+k2)/(k2)=(2)/(k2)+1
∵-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k²＜1且k≠0
∴(2)/(k2)＞2
∴(2)/(k2)+1＞3，即x₀＞3；
（3）若△PEF能成为以EF为底的等腰三角形，则
由EF中点坐标与P的横坐标相等，可得(1+(2+k2)/(k2))/(2)＝(2−k2)/(k2)
∴k＝±(√(2))/(2)．