（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DPBQ=PEQC；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分

Question

（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：(DP)/(BQ)=(PE)/(QC)；
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN²=DM•EN．

Answer 1

（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴(DP)/(BQ)=(AP)/(AQ)，
同理在△ACQ和△APE中，
(EP)/(CQ)=(AP)/(AQ)，
∴(DP)/(BQ)=(PE)/(QC)．

（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=(√(2))/(2)，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=(1)/(3)，DE=(√(2))/(3)，
∵DE边上的高为(√(2))/(6)，MN：GF=(√(2))/(6)：(√(2))/(2)，
∴MN：

作业帮用户 2017-11-12

问题解析

（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出(DP)/(BQ)=(PE)/(QC)；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高(√(2))/(2)，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长(√(2))/(3)，根据(MN)/(GF)等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根据（1）(DM)/(BG)=(MN)/(GF)=(EN)/(FC)，从而得出答案．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：

本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．

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