如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N同时从点B出发，分别在BC、BA上运动，若点M的运动速度为每秒2个单位长度，且是点N运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以MN为对称

Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N同时从点B出发，分别在BC、BA上运动，若点M的运动速度为每秒2个单位长度，且是点N运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以MN为对称轴做△MNB的对称图形△MNB′．
（1）点B′恰好在AD上的时间为

(15)/(4)

(15)/(4)

秒；
（2）在整个运动过程中，求△MNB′与矩形ABCD重叠部分的面积及最大值．

Answer 1

（1）如图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F，
∴∠DFM=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB．AD=BC．∠D=∠C=90°．
∴四边形DCMF是矩形，
∴CD=MF．
∵△MNB与△MNE关于MN对称，
∴△MNB≌△MNE，
∴ME=MB，NE=BN．
∵BN=t，BM=2t，
∴EN=t，ME=2t．
∵AB=6，BC=8，
∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t
在Rt△MEF和Rt△AEN中，由勾股定理，得
EF=√(4t2−36)，AE=√(12t−36)，
∴√(4t2−36)+√(12t−36)=2t，
∴4t√(12t−36)=12t，
∴t=(15)/(4)．
∴AE=3，AN=(9)/(4)．
故答案为：(15)/(4)；
（2）∵△MNE与△MNB关于MN对称，
∴∠MEN=∠MBN=90°．
∵∠MEN+∠MBN+∠EMB+∠ENB=360°，
∴∠EMB+∠ENB=180°．
∵∠ENA+∠ENB=180°，
∴∠ENA=∠EMB．
∵tan∠ENA=(4)/(3)，
∴tan∠EMB=(4)/(3)．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG=∠EMB．
∵BN=t，BM=2t，
∴EN=t，ME=2t．
∵AB=6，BC=8，
∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t
∴GA=(4)/(3)（6-t），GN=(5)/(3)（6-t），
∵EG=EN-GN=t-(5)/(3)（6-t）=(8)/(3)t-10，
∴EF=（(8)/(3)t-10）×(3)/(4)=2t-(15)/(2)．
∴当(15)/(4)＜t≤4时，
S=t²-(1)/(2)（2t-(15)/(2)）（(8)/(3)t-10）=-(5)/(3)（t-6）²+(45)/(2)，
∴t=4时，S_最大=(95)/(6)．
当0＜t≤(15)/(4)时，S=t²．
∴t=(15)/(4)时，S_最大=(225)/(16)．
∵(95)/(6)＞(225)/(16)．
∴最大值为(95)/(6)．