已知数列an的前n项和为Sn,对任意n属于N*,都有an=2/3（Sn+n）（1）求证：数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式（2）求数列{Nan}的前n项和T

Question

已知数列an的前n项和为Sn,对任意n属于N*,都有an=2/3（Sn+n）
（1）求证：数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式 （2）求数列{Nan}的前n项和T

Answer 1

（1）
an=2/3*(Sn+n),故
a(n-1)=2/3*(S(n-1)+(n-1)),二式相减,得
an-a(n-1)=2/3*(an+1),整理,得
1/3an=a(n-1)+2/3.两边同时加1/3,得
1/3an+1/3=a(n-1)+1,即
(an+1)/(a(n-1)+1)=3.故数列{an+1}是等比数列.
（2）
当n=1时,代入an=2/3(Sn+n),解之,得
a1=2,故
a1+1=3,an+1=3^n,故
{an}的通项公式为an=3^n-1
（3）
设数列{cn}的通项公式为cn=n*an+n,前n项和为R,则
cn=n*3^n.故
R=3+2*3^2+3*3^3+4*3^4+……+(n-1)*3^(n-1)+ n*3^n,又
3R= 3^2+2*3^3+3*3^4+……+(n-2)*3^(n-1)+(n-1)*3^n+n*3^(n+1),上式减下式,得
-2R=3+3^2+3^3+3^4+……+3^n-n*3^(n+1)
=3*(1-3^n)/(1-3) - n*3^(n+1),整理,得
R=(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4.又
R为{n*an+n}的前n项和,故
R=T+1+2+……+n=T+n*(n+1)/2,故
T=R-n*(n+1)/2
=(n/2-1/4)*3^(n+1)-n*(n+1)/2+3/4