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已知,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x,ny)在函数的图象上运动(n∈N).(1)求的解析式;(2)求集合A={a|关于x的方程有实根,a∈R};(3)设,函数,(0<a≤x≤b)的值域为,求证:,b=2.
题目详情
已知,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x,ny)在函数的图象上运动(n∈N).
(1)求的解析式;
(2)求集合A={a|关于x的方程有实根,a∈R};
(3)设,函数,(0<a≤x≤b)的值域为,
求证:,b=2.____
(1)求的解析式;
(2)求集合A={a|关于x的方程有实根,a∈R};
(3)设,函数,(0<a≤x≤b)的值域为,
求证:,b=2.____
▼优质解答
答案和解析
【分析】(1)由于,点N(x,ny)又在函数(x)的图象上运动(n∈N).所以,直接代入即可;
(2)关于x的方程有实根,即有实根,实质是求函数的值域;
(3)函数,(0<a≤x≤b)的值域为,故此,本问题只需判断出函数F(x)在[a,b]上的单调性即可求解a,b.
(2)关于x的方程有实根,即有实根,实质是求函数的值域;
(3)函数,(0<a≤x≤b)的值域为,故此,本问题只需判断出函数F(x)在[a,b]上的单调性即可求解a,b.
(1)由条件知,又
∴解析式.
(2)∵方程,即,
∴求集合A就是求方程有实根时a的范围.
而,
∴时原方程总有实根,
∴集合.
(3)∵
∴,(0<a≤x≤b),
又,
∴F(x)在[a,b]上递减,
∴,即①,
由与y=log2x的图象只有唯一交点知:方程只有唯一解,
经检验是方程组①的唯一解,故得证.
∴解析式.
(2)∵方程,即,
∴求集合A就是求方程有实根时a的范围.
而,
∴时原方程总有实根,
∴集合.
(3)∵
∴,(0<a≤x≤b),
又,
∴F(x)在[a,b]上递减,
∴,即①,
由与y=log2x的图象只有唯一交点知:方程只有唯一解,
经检验是方程组①的唯一解,故得证.
【点评】待定系数法是求函数解析式的一种常见方法,例如问题(1);转化思想是数学中的重要思想之一,问题的转化往往可以收到意想不到的效果,如问题(2);问题(3)再次展现了求解函数最值时导数的工具性作用.
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