已知函数f(x)=lg(4-x4+x)，其中x∈（-4，4）（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（-4，4）上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k，使f（k-cosθ）+f（cos2θ-k2）≥

Question

已知函数f(x)=lg((4-x)/(4+x))，其中x∈（-4，4）
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（-4，4）上的单调性；
（3）是否存在这样的负实数k，使f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f(-x)=lg((4+x)/(4-x))=-lg((4-x)/(4+x))=-f(x)，
∴f（x）是奇函数． …（4分）
（2）任取x1，x2∈(-4，4)，且x1<x2，f(x1)-f(x2)=lg((4-x1)/(4+x1))-lg((4-x2)/(4+x2))
=lg((4-x1)(4+x2))/((4+x1)(4-x2))=lg(16+4(x2-x1)-x1x2)/(16+4(x1-x2)-x1x2)，
∵16+4（x₂-x₁）-x₁x₂>16-4（x₂-x₁）-x₁x₂>0，
∴(16+4(x2-x1)-x1x2)/(16+4(x1-x2)-x1x2)>1⇒f(x1)-f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)
∴f（x）在（-4，4）上的减函数；  …（8分）
（3）∵f（k-cosθ）≥-f（cos²θ-k²）=f（k²-cos²θ），
∵f（x）是（-4，4）上的减函数

k<0

-4<k-cosθ<4

-4<cos2θ-k2<4

k-cosθ≤k2-cos2θ

对θ∈R恒成立
由k-cosθ≤k²-cos²θ对θ∈R恒成立得：k-k²≤cosθ-cos²θ对θ∈R恒成立
令y=cosθ-cos2θ=(1)/(4)-(cosθ-(1)/(2))2，

∵cosθ∈[-1，1]∴y∈[-2，(1)/(4)]

∴k-k2≤-2⇒k≤-1

由-4<k-cosθ<4对θ∈R恒成立得：-3<k<3
由-4<cos²θ-k²<4对θ∈R恒成立得：-2<k<2
即综上所得：-2<k≤-1所以存在这样的k其范围为-2<k≤-1…�