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已知函数f（x）=lnx-x+1．（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．
题目详情
已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．
▼优质解答
答案和解析
（1）f′（x）=
，（x>0），
∴f′（1）=0，f（1）=0，
故切线方程是：y=0；
（2）证明：由（1）令f′（x）>0，解得：x<1，
令f′（x）<0，解得：x>1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（1）=0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1恒成立．
| 1-x |
| x |
∴f′（1）=0，f（1）=0，
故切线方程是：y=0；
（2）证明：由（1）令f′（x）>0，解得：x<1，
令f′（x）<0，解得：x>1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（1）=0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1恒成立．
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