已知函数f（x）=lnx-x+1．（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．

Question

已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．

Answer 1

（1）f′（x）=(1-x)/(x)，（x>0），
∴f′（1）=0，f（1）=0，
故切线方程是：y=0；
（2）证明：由（1）令f′（x）>0，解得：x<1，
令f′（x）<0，解得：x>1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（1）=0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1恒成立．