已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C

Question

已知A，B是抛物线W：y=x²上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．
（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）抛物线y=x²的焦点为（0，(1)/(4)）．…（1分）
由题意，得直线AB的方程为y-1=k（x-1），…（2分）
令x=0，得y=1-k，即直线AB与y轴相交于点（0，1-k）．…（3分）
∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，
∴1-k＞(1)/(4)，
解得k＜(3)/(4)．…（5分）
（Ⅱ）设B（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），则
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴(x22−1)/(x2−1)•(x12−1)/(x1−1)＝−1
即（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴B、C处的切线方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）和y-x₂²=2x₂（x-x₂），
联立解得D（(x1+x2)/(2)，x₁•x₂）------（8分）
设x₁x₂=t，由（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2得(x1+x2)/(2)=-1-(t)/(2)，
∴|OD|²=（-1-(t)/(2)）²+t²=(5)/(4)t²+t+1-----（10分）
当t=-(2)/(5)时，|OD|²_min=(4)/(5)，
∴|OD|_min=(2√(5))/(5)-----（12分）