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如图1,在△ABC中,点D为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B、D在直线a的异侧,BE⊥直线a于点E,CF⊥直线a于点F,连接DE、DF.(1)延长ED交CF于点G(如图2).①求证:△BDE≌△CDG;②DE=DF;
题目详情
如图1,在△ABC中,点D为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B、D在直线a的异侧,BE⊥直线a于点E,CF⊥直线a于点F,连接DE、DF.
(1)延长ED交CF于点G(如图2).①求证:△BDE≌△CDG;②DE=DF;
(2)若直线a绕点A旋转到(图3)的位置时,点B、D在直线a的同侧,其它条件不变,此时DE=DF成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
(1)延长ED交CF于点G(如图2).①求证:△BDE≌△CDG;②DE=DF;
(2)若直线a绕点A旋转到(图3)的位置时,点B、D在直线a的同侧,其它条件不变,此时DE=DF成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)①∵BE⊥直线a,CF⊥直线a,
∴BE∥CF,
∴∠EBD=∠GCD,∠DEB=∠DGC.
∵点D为BC边中点,
∴BD=CD.
在△BDE和△CDG中,
,
∴△BDE≌△CDG(AAS);
②∵△BDE≌△CDG,
∴ED=GD.
∵CF⊥直线a,
∴∠CFE=90°,
∴DF=
EG.
∴DE=DF;
(2)DE=DF成立
理由:延长ED交FC的延长线于点G,
①∵BE⊥直线a,CF⊥直线a,
∴BE∥CF,
∴∠EBD=∠GCD,∠DEB=∠DGC.
∵点D为BC边中点,
∴BD=CD.
在△BDE和△CDG中,
,
∴△BDE≌△CDG(AAS);
∴ED=GD.
∵CF⊥直线a,
∴∠CFE=90°,
∴DF=
EG.
∴DE=DF.
∴BE∥CF,
∴∠EBD=∠GCD,∠DEB=∠DGC.
∵点D为BC边中点,
∴BD=CD.
在△BDE和△CDG中,
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∴△BDE≌△CDG(AAS);
②∵△BDE≌△CDG,
∴ED=GD.
∵CF⊥直线a,
∴∠CFE=90°,
∴DF=
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∴DE=DF;
(2)DE=DF成立
理由:延长ED交FC的延长线于点G,
①∵BE⊥直线a,CF⊥直线a,
∴BE∥CF,
∴∠EBD=∠GCD,∠DEB=∠DGC.
∵点D为BC边中点,
∴BD=CD.
在△BDE和△CDG中,
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∴△BDE≌△CDG(AAS);
∴ED=GD.
∵CF⊥直线a,
∴∠CFE=90°,
∴DF=
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∴DE=DF.
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