（2014•渭南二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1，32)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d＝(2，1)的直线l交

Question

（2014•渭南二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1 ， (√(3))/(2))在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量

d

＝(2 ， 1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

（1）∵C的焦点在x轴上且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），
∵点(1 ， (√(3))/(2))在椭圆C上，∴(1)/(4)+(3)/(4b2)＝1，
解得b²=1，
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），
∵直线l方向向量

d

＝(2 ， 1)，
∴直线l的方程是y＝(x−m)/(2)，
联立

y＝(1)/(2)(x−m)  

(x2)/(4)+y2＝1   

⇒2x²-2mx+m²-4=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个根，
∴x₁+x₂=m，x1x2＝(m2−4)/(2)，
∴|PA|2+|PB|2＝(x1−m)2+

y

作业帮用户 2016-12-04 问题解析 （1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），把点(1 ， (√(3))/(2))代入椭圆的方程可得(1)/(4)+(3)/(4b2)＝1，解出即可． （2）设P（m，0）（-2≤m≤2），由于直线l方向向量 d ＝(2 ， 1)，可得直线l的方程是y＝(x−m)/(2)．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明． 名师点评 本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 考点点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议