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已知:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图1摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点.将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线
题目详情
已知:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图1摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点.将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H.
(1)当α=30°时(如图2),求证:AG=DH;
(2)当α=60°时(如图3),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由;
(3)当0°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图④说明理由.
(1)当α=30°时(如图2),求证:AG=DH;
(2)当α=60°时(如图3),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由;
(3)当0°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图④说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵α=30°,
∴∠ADM=30°,
∵∠A=30°,
∴∠ADM=∠A.
∴AM=DM.
又∵MG⊥AD于G,
∴AG=AD.
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°,∠B=60°,
∴△CDB是等边三角形.
又∵CH⊥DB于H,
∴DH=DB.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=AB.
∵BC=BD,
∴AD=DB.
∴AG=DH.
(2)结论成立.理由如下:
在△AMD与△DNB中,∠A=∠NDB=30°,AD=DB,∠MDA=∠B=60°,
∴△AMD≌△DNB,
∴AM=DN.
又∵在△AMG与△DNH中,∠A=∠NDB,∠MGA=∠NHD=90°,
∴△AMG≌△DNH.
∴AG=DH.
(3)方法一:结论成立.
Rt△AGM∽Rt△NHB,Rt△DGM∽Rt△NHD.
∵∠C=∠MDN=90°
∴C,D两点在以MN为直径的圆上,
∴C,M,D,N四点共圆
∴∠DNM=∠DCA=30°,
∴DN=DM
又∵△DGM∽△NHD,
∴DH=MG=AG.
方法二:
当0°<α<90°时,(1)中的结论成立.
在Rt△AMG中,∠A=30°,
∴∠AMG=60°=∠B.
又∠AGM=∠NHB=90°,
∴△AGM∽△NHB.
∴①
∵∠MDG=α,
∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
又∠MGD=∠DHN=90°,
∴Rt△MGD∽Rt△DHN.
∴=②
①×②,得.=
由比例的性质,得=
∵AD=DB,
∴AG=DH.
∴∠ADM=30°,
∵∠A=30°,
∴∠ADM=∠A.
∴AM=DM.
又∵MG⊥AD于G,
∴AG=AD.
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°,∠B=60°,
∴△CDB是等边三角形.
又∵CH⊥DB于H,
∴DH=DB.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=AB.
∵BC=BD,
∴AD=DB.
∴AG=DH.
(2)结论成立.理由如下:
在△AMD与△DNB中,∠A=∠NDB=30°,AD=DB,∠MDA=∠B=60°,
∴△AMD≌△DNB,
∴AM=DN.
又∵在△AMG与△DNH中,∠A=∠NDB,∠MGA=∠NHD=90°,
∴△AMG≌△DNH.
∴AG=DH.
(3)方法一:结论成立.
Rt△AGM∽Rt△NHB,Rt△DGM∽Rt△NHD.
∵∠C=∠MDN=90°
∴C,D两点在以MN为直径的圆上,
∴C,M,D,N四点共圆
∴∠DNM=∠DCA=30°,
∴DN=DM
又∵△DGM∽△NHD,
∴DH=MG=AG.
方法二:
当0°<α<90°时,(1)中的结论成立.
在Rt△AMG中,∠A=30°,
∴∠AMG=60°=∠B.
又∠AGM=∠NHB=90°,
∴△AGM∽△NHB.
∴①
∵∠MDG=α,
∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
又∠MGD=∠DHN=90°,
∴Rt△MGD∽Rt△DHN.
∴=②
①×②,得.=
由比例的性质,得=
∵AD=DB,
∴AG=DH.
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