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如图,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F,连接DE、DF.(1)试判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论.(2)若AE=5,AD=8,求EF的长.(3)△ABC满足什么条件时
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如图,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F,连接DE、DF.
(1)试判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论.
(2)若AE=5,AD=8,求EF的长.
(3)△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?
(1)试判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论.
(2)若AE=5,AD=8,求EF的长.
(3)△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形AEDF是菱形,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵
,
∴△AEO≌△AFO(ASA),
∴EO=FO,
∵EF垂直平分AD,
∴EF、AD相互平分,
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD,
∴平行四边形AEDF为菱形;
(2)∵EF垂直平分AD,AD=8,
∴∠AOE=90°,AO=4,
在RT△AOE中,∵AE=5,
∴EO=
=3,
由(1)知,EF=2EO=6;
(3)当△ABC中∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵
|
∴△AEO≌△AFO(ASA),
∴EO=FO,
∵EF垂直平分AD,
∴EF、AD相互平分,
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD,
∴平行四边形AEDF为菱形;
(2)∵EF垂直平分AD,AD=8,
∴∠AOE=90°,AO=4,
在RT△AOE中,∵AE=5,
∴EO=
AE2-AO2 |
由(1)知,EF=2EO=6;
(3)当△ABC中∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
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