已知f（x）=x2ln（ax）（a>0）。（1）若曲线y=f（x）在x=处的切线斜率为3e，求a的值；（2）求f（x）在[，]上的最小值。

Question

已知f（x）=x ² ln（ax）（a>0）。
（1）若曲线y=f（x）在x= 处的切线斜率为3e，求a的值；
（2）求f（x）在[ ， ]上的最小值。

Answer 1

（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x ² · =x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（ ）= [2ln（a· ）+1]，
∴a=1。
（2）由题知x>0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，则2ln（ax）+1=0，得x= ，
①当a≥1时， ≤
当x∈[ ， ]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[ ， ]上是增函数，
∴[f（x）] _min =f（ ）= = （lna- ）；
②当 ＜a＜1时， 。
当x∈[ ， ）时，f′（x）＜0；
当x∈[ ， ]时，f′（x）>0，
∴f（x）在[ ， ]上是减函数，
在[ ， ]上为增函数，
∴[f（x）] _min =f（ ）= ；
③当0＜a≤ 时，
当x∈ 时，f′（x）＜0，
∴f（x）在 上是减函数，
∴[f（x）] _min =f（ ）=elna =e（lna+ ）。