已知对任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），y∈[-1，1]，不等式x2+16x2-2xy-8x1-y2-a≥0恒成立，则实数a的取值范围为．

Question

已知对任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），y∈[-1，1]，不等式x²+ (16)/(x2)-2xy- (8)/(x) √(1-y2)-a≥0恒成立，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

设y=cosθ，θ∈[0，π]．
∵xy+(4)/(x)√(1-y2)=xcosθ+(4)/(x)|sinθ|=√(x2+(16)/(x2))cos（θ+φ），
∴a≤x2+(16)/(x2)-2√(x2+(16)/(x2))，令t=√(x2+(16)/(x2))，∴t≥2√(2)，
∴a≤t²-2t=（t-1）²-1，∴a≤8-4√(2)．
∴实数a的取值范围为(-∞，8-4√(2)]．
故答案为：(-∞，8-4√(2)]．