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已知f(t)=log2t,t属于[√2,8]对于f（t）值域内的所有实数m,不等式想x^2+mx+4＞2m+4x恒成立,求x的取值范围.
题目详情
已知f(t)=log2 t,t 属于[√2,8] 对于f（t）值域内的所有实数m,不等式想x^2+mx+4＞2m+4x恒成立,求x的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
由题易得,f(t)值域[1/2,3],则1/2≤m≤3
即1/2≤m≤3,x²+mx+4>2m+4x恒成立
等价于x²-4x+4>-mx+2m在1/2≤m≤3恒成立
即(x-2)²＞-m(x-2)在1/2≤m≤3恒成立
当x＜2时,x-2＜-m需恒成立
即x-2＜-3 则x＜-1；
当x=2时,不等式左右两边相等,排除；
当x＞2时,x-2＞-m
即x＞2-m
即x＞2-1/2=3/2
综上所述,x的范围是（-∞,-1）∪（3/2,+∞）
即1/2≤m≤3,x²+mx+4>2m+4x恒成立
等价于x²-4x+4>-mx+2m在1/2≤m≤3恒成立
即(x-2)²＞-m(x-2)在1/2≤m≤3恒成立
当x＜2时,x-2＜-m需恒成立
即x-2＜-3 则x＜-1；
当x=2时,不等式左右两边相等,排除；
当x＞2时,x-2＞-m
即x＞2-m
即x＞2-1/2=3/2
综上所述,x的范围是（-∞,-1）∪（3/2,+∞）
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