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设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.求证:PA=PF.(初二)
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设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:PA=PF.(初二)
求证:PA=PF.(初二)
▼优质解答
答案和解析
证明方法一:作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形.
令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.
tan∠BAP=tan∠EPF=
=
,可得YZ=XY-X2+XZ,
即Z(Y-X)=X(Y-X),即得X=Z,得出△ABP≌△PEF,
∴PA=PF.
方法二:在AB上截取AG=PC,连接PG
∵ABCD是正方形
∴AB=BC,∠B=∠DCB=∠APF=90°
∵AG=CP
∴BG=BP,
∴∠BGP=∠BPG=45°
∴∠AGP=180°-∠BGP=135°
∵CF平分∠DCE
∴∠FCE=45°
∴∠PCF=180°-∠FCE=135°
∴∠AGP=∠PCF
∵∠BAP+∠APB=90°
∠FPC+∠APB=90°
∴∠BAP=∠FPC,
在△AGP和△PCF中
,
∴△AGP≌△PCF(ASA)
∴PA=PF.
令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.
tan∠BAP=tan∠EPF=
X |
Y |
Z |
Y−X+Z |
即Z(Y-X)=X(Y-X),即得X=Z,得出△ABP≌△PEF,
∴PA=PF.
方法二:在AB上截取AG=PC,连接PG
∵ABCD是正方形
∴AB=BC,∠B=∠DCB=∠APF=90°
∵AG=CP
∴BG=BP,
∴∠BGP=∠BPG=45°
∴∠AGP=180°-∠BGP=135°
∵CF平分∠DCE
∴∠FCE=45°
∴∠PCF=180°-∠FCE=135°
∴∠AGP=∠PCF
∵∠BAP+∠APB=90°
∠FPC+∠APB=90°
∴∠BAP=∠FPC,
在△AGP和△PCF中
|
∴△AGP≌△PCF(ASA)
∴PA=PF.
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