在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=根号2a(1)求证PD垂直平面ABCD（2）求证平面PAC垂直平面PBD(3)求证二面角P-BC-D是45°的二面角

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=根号2a
(1)求证PD垂直平面ABCD
（2）求证平面PAC垂直平面PBD
(3)求证二面角P-BC-D是45°的二面角

Answer 1

1
因为 四棱锥P-ABCD,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=根号2a
即 PA^2 = 2a^2 = DA^2 + PD^2 = a^2+a^2
所以 PD⊥AD
同理 PD⊥CD
所以 PD⊥底面ABCD
2
因为 BD属于平面ABCD
所以 AC⊥PD
又因为 ABCD是正方形
所以 对角线AC⊥BD
所以 AC⊥面PDB
所以 面PAC⊥面PDB
3
因为 PD⊥面ABCD
所以 二面角P-BC-D为∠PCD
因为 PD=a,DC=a,PD⊥DC
所以 二面角P-BC-D即∠PCD=45°