如图，已知BD垂直平分AC，连接AB，BC，CD，AD，以AD为边作△ADF，∠ADF=∠BCD，AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AE的长．

Question

如图，已知BD垂直平分AC，连接AB，BC，CD，AD，以AD为边作△ADF，∠ADF=∠BCD，AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，

AB=BC

AD=DC

DB=DB

，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠BCD=∠BAD．
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2） ∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴AB=BD=5．
∵AD=6，
设BE=x，则DE=5-x，
∴AB²-BE²=AD²-DE²，即5²-x²=6²-（5-x）²
解得：x=(7)/(5)，
∴AE=√(AB2-BE2)=(24)/(5)．