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设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4,求a,b,c的值
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设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4,求a,b,c的值
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答案和解析
函数y=x³+ax²+bx+c的图像过原点知：c=0
对y求导得：y'=3x²+2ax+b
因在原点相切,可知在x=0 时 y'=0得:b=0
把 b=0带入y的导数得：y'=3x²+2ax
令y'=0得：x=0或x=-2a/3
即当x=0或x=-2a/3函数y达到极值
把x=-2a/3带入函数得：y=（-2a/3）³+a(-2a/3)²=4a³ /27=-4得：a=-3
对y求导得：y'=3x²+2ax+b
因在原点相切,可知在x=0 时 y'=0得:b=0
把 b=0带入y的导数得：y'=3x²+2ax
令y'=0得：x=0或x=-2a/3
即当x=0或x=-2a/3函数y达到极值
把x=-2a/3带入函数得：y=（-2a/3）³+a(-2a/3)²=4a³ /27=-4得：a=-3
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