分解因式1、x^3（y^6-z^6)+y^3(z^6-x^6)+z^3(x^6-y^6)2、b^3c^3(b-c)+c^3a^3(c-a)+a^3b^3(a-b)3、求证：x^4+x^3+12x^2+14x+1在有理数集内不可约

Question

分解因式 1、x^3（y^6-z^6)+y^3(z^6-x^6)+z^3(x^6-y^6) 2、b^3c^3(b-c)+c^3a^3(c-a)+a^3b^3(a-b)
3、求证：x^4+x^3+12x^2+14x+1在有理数集内不可约

Answer 1

1.
x^3(y^6-z^6)+y^3(z^6-x^6)+z^3(x^6-y^6)
=x^3y^6-x^3z^6+y^3z^6-y^3x^6+z^3(x^6-y^6)
=-x^3y^3(x^3-y^3)-z^6(x^3-y^3)+z^3(x^3-y^3)(x^3+y^3)
=(x^3-y^3)(-x^3y^3-z^6+z^3x^3+z^3y^3)
=(x^3-y^3)[y^3(z^3-x^3)-z^3(z^3-x^3)]
=(x^3-y^3)(y^3-z^3)(z^3-x^3)
=(x-y)(y-z)(z-x)(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)

2.
b^3c^3(b-c)+c^3a^3(c-a)+a^3b^3(a-b)
=b^4c^3-b^3c^4+c^4a^3-c^3a^4+a^3b^3(a-b)
=-c^3(a^4-b^4)+c^4(a^3-b^3)+a^3b^3(a-b)
=-c^3(a-b)(a+b)(a^2+b^2)+c^4(a-b)(a^2+ab+b^2)+a^3b^3(a-b)
=(a-b)(-a^3c^3-ab^2c^3-a^2bc^3-c^3b^3+a^2c^4+abc^4+b^2c^4+a^3b^3)
=(a-b)[a^2c^3(c-a)+b^2c^3(c-a)+abc^3(c-a)+b^3(a^3-c^3)]
=(a-b)(c-a)(a^2c^3+b^2c^3+abc^3-a^2b^3-acb^3-c^2b^3)
=(a-b)(c-a)[a^2(c^3-b^3)+b^2c^2(c-b)+abc(c^2-b^2)]
=(a-b)(c-a)(c-b)(a^2c^2+a^2bc+a^2b^2+b^2c^2+abc^2+ab^2c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2bc+ab^2c+abc^2)

3.
就是要证明f(x)=x^4+x^3+12x^2+14x+1=0没有有理数解
x=0显然不是它的解
假设f(x)=0有有理数解x=m/n,其中m,n都不等于零,m和n是互质的整数,要么m,n同为奇数,要么一奇一偶.
将x=m/n代入f(x)=0,得：
m^2+m^3n+12m^2n^2+14mn^3+n^4=0 ---(1)
如果m,n均为奇数,那么m^4为奇数,m^3n为奇数,12m^2n^2为偶数,14mn^3为偶数,n^4为奇数,所以,m^2+m^3n+12m^2n^2+14mn^3+n^4为奇数,方程(1)不可能成立.
如果m为奇数,n为偶数,那么m^4为奇数,m^3n为偶数,12m^2n^2为偶数,14mn^3为偶数,n^4为偶数,所以,m^2+m^3n+12m^2n^2+14mn^3+n^4为奇数,方程(1)不可能成立.
如果m为偶数,n为奇数,那么m^4为偶数,m^3n为偶数,12m^2n^2为偶数,14mn^3为偶数,n^4为奇数,所以,m^2+m^3n+12m^2n^2+14mn^3+n^4为奇数,方程(1)不可能成立.
所以,f(x)=0有有理数解x=m/n的这个假设不成立
即：f(x)=x^4+x^3+12x^2+14x+1=0没有有理数解
也就是：x^4+x^3+12x^2+14x+1在有理数集内不可约