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如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别
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如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是___.
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(1)EF=
OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=
OA;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=
;(5)OG•BD=AE2+CF2.
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(1)EF=
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=
OE;故正确;![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_7fb0f05c0b203d08a2c5f7a7b8b4473c.jpg)
(2)∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=
S正方形ABCD,
∴S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正确;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=
OA;故正确;
(4)过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=
BC=
,
设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=
BE•BF+
CF•OH=
x(1-x)+
(1-x)×
=-
(x-
)2+
,
∵a=-
<0,
∴当x=
时,S△BEF+S△COF最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=
;故错误;
(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OG•OB=OE2,
∵OB=
BD,OE=
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
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∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=
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(2)∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=
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∴S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正确;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=
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(4)过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=
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设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=
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∵a=-
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∴当x=
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即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=
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(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OG•OB=OE2,
∵OB=
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