如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长．

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长．

Answer 1

：（1）如图1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴根据勾股定理得到，BC=√(AB2+AC2)=10
∴CD=(1)/(2)BC=5．
∵DE⊥BC．
∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，
即DE：6=CE：10=5：8
∴DE=(15)/(4)，CE=(25)/(4)；
（2）如图2，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B=∠DEC．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠4=90°．
∵∠1+∠2=90°
∴∠2=∠4，
∴△PBD∽△QED，
∴(PB)/(EQ)=(BD)/(ED)，
∴(2)/(EQ)=(5)/((15)/(4))，
∴EQ=(3)/(2)，
∴CQ=CE-EQ=(25)/(4)-(3)/(2)=(19)/(4)．
如图2-1，∵∠B=DEC，
∴∠PBD=∠QED．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠2=90°．
∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△PBD∽△QED
∴(PB)/(EQ)=(BD)/(ED)，
∴(2)/(QE)=(5)/((15)/(4))，
∴EQ=(3)/(2)，
∴CQ=(25)/(4)+(3)/(2)=(31)/(4)，
故CQ=(19)/(4)或(31)/(4)；