急,∫∫Σdydx/x+dzdx/y+dxdy/z,其中Σ是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的外侧答案是（4π/abc）（a^b^2+a^2c^2+b^2c^2),

Question

急,
∫∫Σ dydx/x + dzdx/y +dxdy/z,其中Σ是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的外侧
答案是（4π/abc）（a^b^2+a^2c^2+b^2c^2),

Answer 1

第一项应该是dydz/x吧.写出椭球面的广义极坐标方程：x=asinφcosθ,y=bsinφsinθ,z=ccosφ.这样积分曲面的方程可以认为是由r=r(φ,θ)给出,计算矩阵
x'φ y'φ z'φ =acosθcosφ bsinθsinφ -csinφ
x'θ y'θ z'θ -asinθsinφ bcosθsinφ 0
从而A=bccosθ(sinφ)^2,B=acsinθ(cosφ)^2,C=absinθsinφ
根据公式∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(PA+QB+RC)dφdθ,所求积分=
∫∫[(bc/a)sinφ+(ac/b)sinφ+(ab/c)sinφ]dφdθ（φ积分限0到π,θ积分限0到2π）
=[(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)/abc]∫dθ∫sinφdφ=4π(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)/abc.