如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN．（1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长；（2）求证：GN=FN；（3）

Question

如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN．
（1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长；
（2）求证：GN=FN；
（3）如图2，移动点E，使得FN⊥CD于点Q时，请探究CM与DE的数量关系并说明理由．

Answer 1

（1）∵AB=4，AE：DE=3：1，
∴AE=3，DE=1，
∴BE=√(AB2+AE2)=5，
∵∠BEF=90°，∠BEF=90°，∠BEF=90°，
∴△ABE∽△DEM，
∴(AB)/(DE)=(BE)/(EM)，即(4)/(1)=(5)/(EM)，
解得，EM=(5)/(4)；
（2）连接EN，
∵∠BEF=90°，N为BM的中点，
∴EN=(1)/(2)BM=BN=NM，
∴∠NBE=∠NEB，
∴∠NBG=∠NEF，
在△NBG和△NEF中，

BG=EF

∠NBG=∠NEF

NB=NE

，
∴△NBG≌△NEF，
∴GN=FN；
（3）如图2，延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，
∵∠BCD=90°，N为BM的中点，
∴CN=(1)/(2)BM=BN=NM，
∵FN⊥CD，
∴CR=MR=(1)/(2)CM，
∵∠A=∠H=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠ABE=∠FEH，
在△ABE和△HEF中，

∠A=∠H

∠ABE=∠FEH

BE=FE

，
∴△ABE≌△HEF，
∴AE=HF，
∵∠H=∠RDH=∠DRF=90°，
∴四边形DRFH是矩形，
∴AE=HF=DR，
∴AD-AE=CD=DR，即DE=CR，
∴DE=(1)/(2)CM．