（2014•惠州模拟）已知函数f（x）=13x3-bx+c（b，c∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；（Ⅱ）若b=1，函数f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求c的取

Question

（2014•惠州模拟）已知函数f（x）=(1)/(3)x³-bx+c（b，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；
（Ⅱ）若b=1，函数f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤(4)/(3)，求b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=(1)/(3)x³-bx+c，
∴f′（x）=x²-b，
∴f′（1）=1-b=2，解得b=-1，
又f（1）=2+1=3，
∴(1)/(3)-b+c=3，解得c=(5)/(3)；
（Ⅱ）∵b=1，
∴f（x）=(1)/(3)x³-x+c，则f′（x）=x²-1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
又f（0）=c＜f（2）=(2)/(3)+c，
可知f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或

f(0)＝c≤0

f(2)＝(2)/(3)+c＞0

，
解得c=(2)/(3)或-(2)/(3)＜c≤0；
（Ⅲ） 若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤(4)/(3)等价于f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤(4)/(3)，
（ⅰ） 当b≤0时，在[-1，1]上f′（x）≥0，f（x）在[-1，1]上单调递增，
由M=f（1）-f（-1）=(2)/(3)-2b≤(4)/(3)，得b≥-(1)/(3)，所以-(1)/(3)≤b≤0，
（ⅱ）当b＞0时，由f′（x）=0得x=±√(b)，
由f（x）=f（-

作业帮用户 2016-11-18

问题解析

（Ⅰ）先求导函数f′（x），根据f′（1）=2可求出b的值，再根据切点既在切线上又在函数图象上可求出c的值；
（Ⅱ）先利用导数研究函数的单调性，从而得到f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或

f(0)≤0

f(2)＞0

，解之即可求出c的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤(4)/(3)等价于f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤(4)/(3)，讨论b的取值范围，求出f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M，建立关系式，解之即可．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，导数的几何意义，以及研究函数的零点问题，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，利用导数研究函数最值问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．

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