如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积．

Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积．

Answer 1

（1）连接EF，因为BE=2EC，CF=FD，所以S_△DEF=（(1)/(2)×(1)/(3)×(1)/(2)）S_□ABCD=(1)/(12)S_□ABCD，
因为S_△AED=S_□ABCD，由蝴蝶定理，AG：GF=(1)/(2)：(1)/(12)=6：1．
所以S_△AGD=6S_△GDF=(6)/(7)S_△ADF=(6)/(7)×(1)/(4)S_□ABCD=(3)/(14)S_□ABCD．
所以S_△AGE=S_△AED-S_△AGD=(1)/(2)S_□ABCD-(3)/(14)S_□ABCD=(2)/(7)S_□ABCD=(2)/(7)．
（2）延长AF，交BC的延长线于M．

因为DF=CF；∠ADF=∠MCF=90°；∠AFD=∠MFC．
所以△ADF≌△MCF（ASA），AD=MC=BC．
又BE=2EC，则EC：BE=1：2，EC：BC=1：3=EC：AD=EC：CM=EC：AD．
故EM：AD=4：3=EG：GD，得EG：ED=4：7．
所以S_△AEG：S_△AED=EG：ED=4：7．（同高三角形的面积比等于底之比）
所以，=(4)/(7)S_△AED=(4)/(7)×(1)/(2)S_{正方形ABCD}=(4)/(7)×(1)/(2)×1²=(2)/(7)．