如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10

Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙C直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）连接DM，
设EF=4k，DF=3k，
则ED=√(EF2+DF2)=5k，
∵(1)/(2)AD•EF=(1)/(2)AE•DM，
∴DM=(AD•EF)/(AE)=(6k•4k)/(5k)=(24)/(5)k，
∴ME=√(DE2−DM2)=(7)/(5)k，
∴cos∠AED=(ME)/(DE)=(7)/(25)；
（3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE²=CE•BE，
∴（5k）²=(5)/(2)k•（10+5k），
整理得：25k²=50k，
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD=(5)/(2)k=5．