（2013•朝阳区一模）如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm．坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C．一带

Question

（2013•朝阳区一模）如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm．坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C．一带电油滴在xOy平面内，从P点与x轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.0×10^-7C，重力加速度为g=10m/s²．
（1）求油滴的质量m．
（2）若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油滴通过Q点，且其运动轨迹关于y轴对称．已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，求：
a．油滴在磁场中运动的时间t；
b．圆形磁场区域的最小面积S．

Answer 1

（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有qE-mg=0
所以m＝(qE)/(g)＝1.0×10−8kg
（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t，根据牛顿第二定律：
所以qvB＝(mv2)/(R)⇒R＝(mv)/(qB)＝0.10m
所以T＝(2πR)/(v)＝0.1πs
设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y轴对称，如图所示，根据几何关系可知∠MO'N=60°，所以，带电油滴在磁场中运动的时间t2＝(T)/(6)＝(0.1π)/(6)s
由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等．根据几何关系可知，PM＝NQ＝((d)/(2)−Rsin30°)/(cos30°)＝(0.2)/(3)√(3)m
所以油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间t1＝t3＝(PM)/(v)＝(0.1)/(3)√(3)s
则油滴从P到Q运动的时间t＝t1+t2+t3＝((0.2)/(3)√(3)+(0.1)/(6)π)s≈0.17s
连接MN，当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示．根据几何关系圆形磁场的半径r=Rsin30°=0.05m
其面积为S=πr²=0.0025πm²≈7.9×10^-3m²
答：（1）求油滴的质量m为1.0×10^-8kg．
（2）a．油滴在磁场中运动的时间为0.17s；
b．圆形磁场区域的最小面积S为7.9×10^-3m²．