三角形ABC中,AB=二倍根号2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°连接CD的长,求线段CD的长.

Question

三角形ABC中,AB=二倍根号2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°
连接CD的长,求线段CD的长.

Answer 1

答案为【√5或√13】

   过程如下：

   ①如图1,D与C在AB的同侧.
            延长BC交AD于E.

           ∵∠ABC=45°,∠ABD=90°（已知）,

           ∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=45°（等量代换）.

           在△BDE中,
           ∠DBE+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）.

           又∵∠BDE=45°（已知）,

           ∴∠BED=90°（等量代换）.
           ∴由勾股定理得,BE²+DE²=BD²,2BE²=(2√2)²,
               2BE²=8,BE²=4,BE=2.
           ∴CE=BE-BC=2-1=1（等量代换）.
           ∴在△CDE中,由勾股定理得,
               CD=√(CE²+DE²)=√(1+4)=√5.   

②如图2,D与C在A的异侧.

           作△DBC上DB的高线CE交DB的延长线于E.

           ∵∠ABC=45°,∠ABE=90°（已知）,

           ∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°（等量代换）.

           在△BCE中,∠CBE+∠E+∠BCE=180°（三角形内角和定理）,

           又∵∠E=90°（已作）,

           ∴∠BCE=45°（等量代换）.

           ∴由勾股定理得,BE²+CE²=BC²,2CE²=1²,CE²=1/2,CE=√2/2.



这答案我是看到引用的,很全也比较准确,你看一下,不明白的追问