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如图,已知AB为⊙O的直径,CD、CB为⊙O的切线,D、B为切点,连结AD、BD,OC交⊙O于点E,AE交BD于G,AE的延长线交BC于点F.给出以下结论:①AD∥OC;②点E为△CDB的内心;③FC=FE;④EG=EF.其中正
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bba1cd11728b4710f8374b4ec0cec3fdfc032313.jpg)
①AD∥OC;②点E为△CDB的内心;③FC=FE;④EG=EF.
其中正确的是______(填编号).
▼优质解答
答案和解析
①连接OD,DE,EB.CD与BC是⊙O的切线,易证△CDO≌△CBO,则∠DCO=∠BCO.故OC⊥BD.
∵AB是直径,
∴AD⊥BD,
∴AD∥OC,故①正确;
②∵CD是⊙O的切线,
∴∠CDE=
∠DOE,而∠BDE=
∠BOE,
∴∠CDE=∠BDE,即DE是∠CDB的角平分线,同理可证得BE是∠CBD的平分线,
因此E为△CBD的内心,故②正确;
③若FC=FE,则应有∠OCB=∠CEF,应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA,
∴弧AD=弧BE,而弧AD与弧BE不一定相等,故③不正确;
④如图,∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,即GF⊥BE.
又由②知,BE是∠CBD的平分线,
∴BE是等腰△GBF的边GF上的中垂线,则EG=EF.故④正确.
故答案是:①②④.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3801213fb80e7becae18b4632c2eb9389a506b76.jpg)
∵AB是直径,
∴AD⊥BD,
∴AD∥OC,故①正确;
②∵CD是⊙O的切线,
∴∠CDE=
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∴∠CDE=∠BDE,即DE是∠CDB的角平分线,同理可证得BE是∠CBD的平分线,
因此E为△CBD的内心,故②正确;
③若FC=FE,则应有∠OCB=∠CEF,应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA,
∴弧AD=弧BE,而弧AD与弧BE不一定相等,故③不正确;
④如图,∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,即GF⊥BE.
又由②知,BE是∠CBD的平分线,
∴BE是等腰△GBF的边GF上的中垂线,则EG=EF.故④正确.
故答案是:①②④.
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