给定数列{an}，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为Ai，即Ai=max{a1，a2，…，ai}；该数列后n-i项ai+1，ai+2，…，an中的最小项为Bi，即Bi=min{ai+1，ai+2，…，an}；di=Ai-Bi（i=1，2，3，…，n-1）（

Question

给定数列{a_n}，记该数列前i项a₁，a₂，…，a_i中的最大项为A_i，即A_i=max{a₁，a₂，…，a_i}；该数列后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n中的最小项为B_i，即B_i=min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}；d_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，n-1）
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d₁，d₂，d₃；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有(1-λ)Sn=-λan+(2)/(3)n+(1)/(3)，其中λ为实数，λ>0且λ≠(1)/(3)，λ≠1．
①设bn=an+(2)/(3(λ-1))，证明数列{b_n}是等比数列；
②若数列{a_n}对应的d_i满足d_i+1>d_i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵给定数列{a_n}，A_i=max{a₁，a₂，…，a_i}，
B_i=min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}，d_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，n-1）
对于数列：3，4，7，1，A₁=3，B₁=1，d₁=3-1=2，
A₂=4，B₂=1，d₂=4-1=3，
A₃=7，B₃=1，d₃=7-1=6，
∴d₁=2，d₂=3，d₃=6．（3分）
证明：（2）①当n=1时，（1-λ）a₁=-λa₁+1，∴a₁=1，（4分）
当n≥2时，(1-λ)Sn=-λan+(2)/(3)n+(1)/(3)，(1-λ)Sn-1=-λan-1+(2)/(3)n-(1)/(3)，
两式相减得an=λan-1+(2)/(3)，
∴bn=an+(2)/(3(λ-1))=λan-1+(2)/(3)+(2)/(3(λ-1))=λ[an-1+(2)/(3(λ-1))]=λbn-1，
又b1=a1+(2)/(3(λ-1))=(3λ-1)/(3(λ-1))≠0，
∴数列{b_n}是以(3λ-1)/(3(λ-1))为首项、λ为公比的等比数列．（9分）
②由①知：an=(3λ-1)/(3(λ-1))•λn-1-(2)/(3(λ-1))；
又d_i=max{a₁，a₂，…，a_i}-min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}，
d_i+1=max{a₁，a₂，…，a_i+1}-min{a_i+2，a_i+3，…，a_n}
由于min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}≤min{a_i+2，a_i+3，…，a_n}，
∴由d_i+1>d_i推得max{a₁，a₂，…，a_i}<max{a₁，a₂，…，a_i+1}．
∴max{a₁，a₂，…，a_i+1}=a_i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立．（13分）
∵d_i=a_i-a_i+1，d_i+1=a_i+1-a_i+2，
∴di-di+1=ai+ai+2-2ai+1=(3λ-1)/(3(λ-1))•λi-1(1+λ2-2λ)=(3λ-1)/(3(λ-1))•λi-1(λ-1)2．（14分）
由d_i-d_i+1<0，得(3λ-1)/(3(λ-1))•λi-1(λ-1)2<0，
但λ>0且λ≠1，∴(3λ-1)/(3(λ-1))<0，解得

作业帮用户 2017-01-28

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