（2014•黄浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．（1）求证：BD⊥BC；（2）延长CB至G，使BG=BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y．①当点F在线段BC

Question

（2014•黄浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）延长CB至G，使BG=BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y．
①当点F在线段BC上时（点F不与点B、C重合），求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
②当以AE为半径的⊙E与以CF为半径的⊙F相切时，求x的值．

Answer 1

（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△AHD中，AH=AD•cosA=BC•cosA=1，
∵(AH)/(AD)＝(1)/(2)，(BC)/(CD)＝(1)/(2)，
∴(AH)/(AD)＝(BC)/(CD)，即(AH)/(BC)＝(AD)/(CD)．
又∵∠C=∠A=60°，
∴△AHD∽△CBD，
∴∠CBD=∠AHD=90°，
∴BD⊥BC；

（2）①∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∵∠BDH+∠HDA=90°，∠A+∠HDA=90°，
∴∠BDH=∠A=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDH=∠EDF，即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE，
∴∠EDH=∠FDB，
又∵∠EHD=∠CBD=90°，
∴△EHD∽△FBD，
∴(DH)/(BD)＝(EH)/(BF)，
∴(√(3))/(2√(3))＝(x−1)/(2−y)，
∴y=4-2x（1＜x＜2）；
②连接EF，分三种情况：
1°当点F在线段BC（点F不与点B、C重合）上时，
∵△EHD∽△FBD，
∴(DH)/(BD)＝(DE)/(DF)．即(DH)/(DE)＝(BD)/(DF)．
又∵∠BDH=∠EDF，
∴△BDH∽△FDE，
∴∠DEF=90°，
在Rt△EDH中，DE＝√(EH2+DH2)＝√(x2−2x+4)，
∴EF＝DE•tan60°

作业帮用户 2017-10-31