已知函数(a∈R)．(I)当时，讨论f(x)的单调性；(II)证明：…(n≥2，)．

Question

已知函数(a∈R)．
(I)当时，讨论f(x)的单调性；
(II)证明：…(n≥2，)．____

Answer 1

【分析】(I)利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：(1)确定 f(x)的定义域；(2)求导数fˊ(x)；(3)在函数 的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0；(4)确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．(II)由(I)知，当a=时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；则函数f(x)在(1，+∞)上单调递减；lnx-x-1<-1，进行变形可得，令x=2，3，…，n．不所得的各式相加即可证明结论．

(I)因为 ，
所以 =x∈(0，+∞)，
令g(x)=ax²-x+1-a，x∈(0，+∞)，
由f′(x)=0，
即a×2-x+1=0，解得x₁=1，x₂=．
①当a=时，x₁=x₂，g(x)≥0恒成立，
此时f(x)≤0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；
②当<a<1时，
x∈(0，)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
x∈(，1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
x∈(1，+∞)时，g(x)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减；
③当a=1时，
x∈(0，1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
x∈(1，∞)时，g(x)>0此时函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
④当a>1时，x∈(0，1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
x∈(1，∞)时，g(x)>0此时函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
(II)由(I)知，当a=时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；
则函数f(x)在(1，+∞)上单调递减；
∴f(x)<f(1)=ln1--1=-1，
即lnx-x-1<-1，
即lnx，即，
令x=2，3，…，n．得
，
，，
，
…
．
将上述各式相加得．

【点评】此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．