设数列{an}的前n项和为Sn，且（t-1）Sn=2tan-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．（I）求证：数列{an}为等比数列；（II）若数列{an}的公比q=f（t），数列{bn}满足b1=a1，bn+1=f（bn），求数列{}的通项

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1=f（b_n），求数列{}的通项公式；
（III）设t=，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个（k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁，，a₂，，，a₃，，，，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和．

Answer 1

（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是以1为首项，为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{}的通项公式；
（III）确定数列{c_n}为：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，…，再分组求和，即可求得数列{c_n}的前50项之和．
（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
两式相减得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴（常数）．
∴数列{a_n}是以1为首项，为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
∵q=f （t）=，b₁=a₁=1，b_n+1=f （b_n）=，
∴=+1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴．…（8分）
（III）【解析】
当t=时，由（I）知a_n=，于是数列{c_n}为：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，…
设数列{a_n}的第k项是数列{c_n}的第m_k项，即a_k=，
当k≥2时，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]=，
∴m₉=-45．
设S_n表示数列{c_n}的前n项和，则S₄₅=[1+++…+]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+++…+==2-，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2-+36=38-．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38-+5×（-1）⁹×9=-7．
即数列{c_n}的前50项之和为-7．…（12分）