已知An=2n-1(n是自然数)已知An=2n-1（n是自然数）是否存在正数K使（1+1/a1）（1+1/a2）.（1+1/an）大于等于K乘根号（2n+1）对于一切自然数成立,若存在求K最大值若不存在说明理由

Question

已知An=2n-1 (n是自然数)
已知An=2n-1 （n是自然数）是否存在正数K使（1+1/a1）（1+1/a2）.（1+1/an）大于等于K乘根号（2n+1）对于一切自然数成立,若存在求K最大值若不存在说明理由

Answer 1

（1+1/a1）（1+1/a2）.（1+1/an）
=(1+1/1)(1+1/3)(1+1/5).(1+1/(2n-1))
=(2/1)(4/3)(6/5)...[(2n)/(2n-1)].
设b(n)=[(1+1/a1)(1+1/a2）...(1+1/an)]/√(2n+1)
=(2/1)(4/3)(6/5)...[(2n)/(2n-1)]/√(2n+1).
b(n+1)/b(n)=(2n+2)/[√(2n+1)√(2n+3)]>1.
2√3/3=b(1)