已知函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明

Question

已知函数 （其中 ，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 ，试判断函数 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 ， （ ），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明 ．

Answer 1

已知函数 （其中 ，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 ，试判断函数 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 ， （ ），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明 ．

（Ⅰ） 在区间 上是单调递减函数；（Ⅱ）k的取值范围是 ；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）将 代入 求导，根据其符号即可得其单调性；（Ⅱ）函数 有两个极值点 ， ，则 ， 是 的两个根，即方程 有两个根.接下来就研究函数 图象特征，结合图象便可知 取何值时，方程 有两个根.

（Ⅲ）结合 图象可知，函数 的两个极值点 ， 满足 .
，这里面有 两个变量，那么能否换掉一个呢？
由 ，得 ，利用这个关系式便可将 换掉而只留 ：
，这样根据 的范围，便可得 ，从而使问题得证.
试题解析：（Ⅰ）若 ， ，则 ，
当 时， ，
故函数 在区间 上是单调递减函数． 4分
（Ⅱ）函数 有两个极值点 ， ，则 ， 是 的两个根，
即方程 有两

作业帮用户 2017-09-26

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